Operasi Matematik

4.0       Definisi Operasi
Operasi adalah suatu fahaman tentang +, -, × dan ÷  serta pengetahuan tentang fakta asas nombor untuk setiap operasi ini menyediakan satu asas untuk kerja lanjut dengan pengiraan. Setiap operasi dipersembahkan dengan pelbagai perwakilan mengguna berbagai model fizikal. Murid memerlukan banyak pengalaman dalam situasi kehidupan sebenar dan berinteraksi dengan objek fizikal untuk memupuk fahaman tentang operasi matematik. Fahaman akan meningkat jika murid dapat mengaitkan simbol matematik kepada pengalaman yang diperoleh atau kepada sesuatu yang boleh dilihat. Berikut adalah urutan aktiviti yang sesuai untuk membantu murid mengembangkan maksud bagi empat operasi asas:

1.    Konkrit – model mengguna bahan > Guna pelbagai masalah lisan dan bahan manipulatif untuk melakonkan dan mewakilkan operasi matematik.

2.    Separa konkrit – mewakilkan operasi dengan gambar > Bekalkan perwakilan objek dalam gambar, gambarajah dan lukisan dalam langkah ke arah perwakilan simbolik.

3.    Abstrak – mewakilkan operasi dengan simbol > Guna simbol (khasnya untuk ungkapan berangka dan ayat nombor) untuk mengilustrasikan operasi.

Bila mengajar murid tentang operasi matematik, adalah penting untuk mengenal pasti bahawa terdapat beberapa model atau cara pemikiran tentang operasi tersebut.   

4.0.1    Konsep Operasi Asas Matematik
Dalam matematik terdapat empat operasi aritmetik iaitu operasi tambah ( +), operasi tolak (-), operasi darab (×) dan operasi bahagi (÷). Operasi tambah ialah operasi pertama yang dipelajari oleh murid. Murid telah didedahkan dengan operasi tambah apabila mereka belajar membilang.  Murid diperkenalkan operasi tolak setelah mereka dapat melakukan operasi tambah. Operasi darab pula diperkenalkan setelah murid mahir dalam operasi tambah. Manakala operasi bahagi ialah operasi yang lebih susah daripada operasi tambah, tolak dan darab.

4.1       Operasi Tambah
Operasi tambah ini merupakan asas untuk menumbuh dan mencambahkan minat murid terhadap mata pelajaran matematik. Pengalaman kejayaan dan kegagalan yang mereka alami semasa peringkat awal menguasai kemahiran ini memberi pengaruh yang besar terhadap penguasaan kemahiran lain yang lebih mencabar pada peringkat seterusnya. Sebelum operasi tambah ini diperkenalkan, murid-murid hendaklah menguasai kemahiran-kemahiran seperti membilang hingga 10, menyusun kumpulan benda sehingga 10, membaca dan menulis angka 1-10, memadankan angka daripada 1-10 dengan perkataan nombor, mengenal simbol ’0’ dan perkataan nombor ’sifar’ dan memahami maknanya serta mengabadikan nombor.

4.1.1    Konsep Tambah

Penambahan ialah operasi yang mencantumkan dua nilai nombor untuk menghasilkan nombor ketiga yang dinamakan jumlah atau hasil tambah. Contoh: 3 + 2 =  5 .

Dua kaedah biasa yang digunakan untuk menjelaskan konsep penambahan iaitu

• Penyatuan set - Penambahan nombor bulat dikaitkan dengan suatu set kumpulan objek dengan satu set objek yang lain yang tidak mengandungi unsur-unsur yang sama untuk menjadikan suatu set objek yang disatukan. Proses keseluruhan untuk menentukan nombor inilah yang dinamakan operasi tambah. Operasi ini dilambangkan dengan simbol (+).

• Pengukuran pada garis nombor -  Garis nombor merupakan model geometri dengan setiap jarak di antara titik pada garis bernilai 1.

4.1.2    Kemahiran Operasi Tambah
Pendedahan operasi penambahan perlu dijalankan sebaik sahaja murid telah menguasai nombor bulat, nilai tempat serta fakta asas tambah. Murid didedahkan dengan kemahiran menambah iaitu nombor 2 digit dan nombor 1 digit dan menambah nombor 2 digit dengan nombor 2 digit. Murid juga akan biasakan diri dengan kemahiran menulis ayat matematik dan penyelesaian masalah matematik dalam bentuk lazim.  

Operasi tambah ini akan didedahkan secara berperingkat iaitu:

•              Operasi tambah dalam lingkungan 10
•        Operasi tambah dalam lingkungan 18
•        Operasi tambah dalam lingkungan 50
•               Operasi tambah dalam lingkungan 100

Selain itu, operasi tambah ialah proses yang menjumlahkan dua atau lebih kuantiti dengan menggunakan nombor-nombor. Operasi tambah merupakan gabungan antara dua set objek. Guru boleh menggunakan pendekatan ELPS (Experience, Language, Picture, Symbol ) ketika mengajar operasi tambah. Pengalaman konkrit diberikan di samping penggunaan yang betul bagi mewakili operasi dalam bentuk bergambar serta bentuk simbol. Contoh:

•  Menggunakan objek konkrit.
• Menggunakan bahasa yang betul.
• Menggunakan gambar untuk mewakili nombor-nombor tersebut.
• Menggunakan simbol untuk mewakili operasi tersebut.

4.1.3    Bentuk Operasi Tambah

            Terdapat dua bentuk operasi tambah. Yang pertama adalah ayat matematik :                                5 + 8 = 13

            Manakala yang kedua adalah bentuk lazim :    

                                                                                                                                                                                 5                                                    

                            +   3

                            ----------

                                8

4.1.4    Peringkat Perkembangan Murid Melakukan Operasi Tambah

1. Peringkat membilang semula.  - Dalam peringkat ini guru dapat menggunakan dua kumpulan benda seperti penutup botol. Murid perlu membilang dari kumpulan pertama dan sambung kepada kumpulan kedua.
2. Peringkat membilang secara terus. - Dalam peringkat ini pula, murid akan menentukan bilangan benda dalam kumpulan pertama, kemudian membilang kumpulan kedua.
3. Peringkat menyatukan dua kumpulan secara spontan.  - Dalam peringkat ini pula, seorang murid akan menyebut satu nombor , misalnya 8. Murid kedua pula menunjukkan dua kad nombor yang jumlahnya 8, misalnya 5 dan 3.

4.1.5    Fakta Asas Tambah
Fakta asas tambah merupakan kombinasi penambahan (termasuk songsangannya) yang setiap sebutan ialah nombor 1 digit.  Menguasai fakta asas tambah merupakan asas kepada pengendalian algoritma penambahan dengan cekap dan tepat. Kepelbagaian aktiviti bagi menguasai pembentukan konsep fakta asas tambah perlulah lebih berkesan di samping dijalankan latihan untuk peneguhan. Operasi tambah secara konkrit perlu didedahkan terlebih dahulu untuk mengembangkan kefahaman murid tentang penambahan. Setelah itu, guru mengajar operasi tambah matematik secara piktorial dan diikuti dengan garis nombor. Pada akhirnya kaedah visual dan lisan perlu digunakan oleh guru untuk mengajar operasi tambah.
        Setelah itu, strategi yang berkesan iaitu strategi berfikir perlu diperkenalkan berdasarkan prinsip-prinsip tertentu. Akhirnya murid dikehendaki mengingat dan menghafal semua fakta asas tambah. Murid akan mampu menyatakan semua fakta asas tambah dengan cepat dan tepat sekiranya diajar dengan cara yang berkesan. Seseorang guru mestilah memastikan muridnya telah mempunyai konsep penambahan yang mantap (termasuk simbol yang terlibat) sebelum meminta mereka mengingati fakta asas tambah.
        Seseorang murid boleh didedahkan dengan operasi penambahan, sebaik sahaja mereka telah menguasai nombor bulat, nilai tempat serta fakta asas tambah. Murid akan didedahkan dengan kemahiran menambah nombor 2 digit dengan nombor 1 digit, dan menambah nombor 2 digit dengan nombor 2 digit. Murid juga akan dibiasakan dengan kemahiran menulis ayat matematik dan penyelesaian masalah matematik dalam bentuk lazim. Operasi tambah ini akan didedahkan secara berperingkat iaitu operasi tambah dalam lingkungan 10, operasi tambah dalam lingkungan 18 tanpa/dengan mengumpul semula, operasi tambah dalam lingkungan 50 tanpa/dengan mengumpul semula dan operasi tambah dalam lingkungan 100 tanpa/dengan mengumpul semula.

4.1.6    Strategi-strategi Pemikiran untuk Mempelajari Fakta Asas Penambahan

• Sifat tukar tertib
• Strategi Tambah Satu dan Tambah Sifar
• Strategi Gandaan atau Hampir Gandaan
• Membilang Terus
• Menambah ke 10 dan lebih : Kaedah Ganti Rugi

4.2       Operasi Tolak
Operasi tolak diajar selepas operasi tambah. Operasi tolak berhubung dengan pengasingkan atau pengurangan sesuatu set objek kepada set-set kecil. Ia merupakan songsangan operasi tambah. Tolak ialah proses untuk mencari beza atau baki apabila satu nombor dikeluarkan daripada jumlah.

4.2.1    Konsep Tolak
Operasi tolak mempunyai beberapa makna atau pengertian seperti memisahkan atau mengurangkan kuantiti daripada satu kuantiti keseluruhan dan melihatkan baki yang tinggal. Pendekatan yang boleh digunakan dalam operasi tolak ini ialah pengasingan atau mengambil keluar, perbandingan, pelengkap dan penyekatan.

• Pengasingan atau mengambil keluar bermula dengan satu set objek, satu subset dikeluarkan. Contohnya, terdapatnya 8 buah buku di atas meja. Sebanyak 4 buku dimasukkan ke dalam beg. Berapa buah buku lagikah yang tinggal di atas meja tersebut?
• Perbandingan merupakan di mana dua set objek berasingan diberi. Set objek pertama disusun semula dan dipadankan dengan set objek kedua. Set objek yang tidak ada pasangan dikenali sebagai baki atau beza. Contohnya, terdapat 8 biji gula-gula dan 5 potong kek. Berapakah bilangan gula-gula melebihi kek?        
• Pelengkap pula bermula dengan satu set objek, kemudian fikirkan berapa objek lagi perlu ditambah untuk melengkapkan set keseluruhan. Contohnya, saya ada 6 ekor kuda di dalam sebuah kandang yang bole memuatkan 10 ekor kuda. Berapa ekor kudakah yang boleh saya masukkan lagi ke dalam kandang itu?
• Penyekatan - Dalam konsep ini, ahli sesuatu set objek perlu diubahsuai kedudukannya untuk menepati sesuatu syarat. Contohnya,terdapat 7 buah kereta di sebuah tempat letak kereta. 2 buah kereta berwarna biru dan yang lain berwarna merah. Berapa buah keretakah yang berwarna merah?

4.2.2    Kemahiran Operasi Tolak

Kemahiran yang diajar adalah:

• menulis ayat matematik
•  melengkapkan ayat matematik menolak secara spontan fakta asas tolak
• menulis hitungan tolak dalam bentuk lazim
• Penyelesaian masalah berkaitan penolakan

4.2.3    Bentuk  Operasi Tolak

Terdapat dua bentuk operasi tolak. Yang pertama adalah ayat matematik : 9 - 5 = 4

Manakala yang kedua adalah bentuk lazim :    

            Bentuk lazim :                9

                                               -   5__

                                                   4

4.2.4    Fakta Asas Tolak

Fakta asas tolak ialah ayat matematik bagi penolakan nombor 1 digit daripada nombor 1 digit atau 2 digit dan hasilnya nombor satu digit.  Terdapat dua kaedah untuk memperkenalkan fakta asas tolak iaitu:

• mengekalkan bilangan unsur yang dikeluarkan, dan
• mengekalkan bilangan unsur dalam set asal.

Biasanya operasi tolak diajar mengikut turutan daripada tolak tanpa mengumpul semula kepada tolak dengan mengumpul semula. Sebelum mempelajari operasi tolak dengan mengumpul semula, murid perlu mahir kemahiran yang berikut:

• Fakta asas tolak
•  Menolak nombor yang sama nilai tempatnya
• Nilai tempat bagi angka
• Menulis nombor dalam bentuk tambah mengikut nilai tempat dan seterusnya menulis nombor berkenaan dalam bentuk yang lain.

4.2.5    Strategi-strategi Pemikiran untuk Mempelajari Fakta Asas Penolakan

• Mengguna sifar dan satu
• Mengguna Gandaan
• Membilang balik
• Membilang Terus
•  Satu kurang daripada fakta yang diberi

4.2.6    Teknik-teknik Operasi Penolakan

1. Penolakan menggunakan gambar rajah.

Penggunaan gambar dalam mengajar penolakan dalam Matematik adalah sesuatu yang sangat berkesan dalam menggambarkan konsep operasi penolakan. Guru perlu memainkan peranan sebagai pembimbing minda kanak-kanak ke arah pembinaan konsep penolakan. Guru harus membimbing murid dengan soalan-soalan ke arah pembentukan konsep penolakan.

2. Penolakan secara manipulatif

Dalam kaedah ini, ia menggunakan benda maujud seperti, biji kacang, lidi, biji saga, anak patung dan sebagainya. Terdapat juga unsur-unsur pendekatan masteri, di mana, murid diajar pengurangan nilai 1 terlebih dahulu seperti 10-1, 8-1, 5-1 dan sebagainya. Apabila mereka telah mahir dengan pengurangan nilai 1, barulah diajar pengurangan 2 seperti, 10-2, 8-2, 5-2 dan sebagainya. Melalui kaedah ini pelajar akan dibiasakan dengan pola-pola nombor untuk mencari jawapan dan ia juga mendedahkan murid dengan hubungan nombor dalam sesuatu persamaan untuk menunjukkan fakta bahawa operasi penolakkan adalah pembalikkan operasi penambahan contohnya 6, 3, dan 9 adalah persamaan seperti berikut,  6 + 3 = 9, 9 – 3 = 6 dan 9 – 6 =3.

Penolakan secara manipulatif yang menggunakan bahan maujud seperti biji saga juga sesuai untuk digunakan pada murid pada peringkat penolakkan asas. Kaedah ini juga berperanan dalam mengukuhkan konsep penolakan pada murid-murid saya. Walaubagaimanapun ia tidak sesuai untuk penolakan nilai yang lebih besar seperti 30 – 15 atau 40 – 20. Ini kerana murid-murid terpaksa menggunakan biji saga yang banyak hingga menyebabkan pengiraan mereka menjadi lambat. Selain itu juga, murid-murid mudah keliru semasa mengira biji saga apabila melibatkan kuantiti yang banyak.

3. Penolakan menggunakan garis nombor dan pengiraan menurun.

 Teknik pengiraan yang digunakan adalah dengan cara pengiraan menurun.

4.3       Operasi Darab

Darab ialah penambahan nombor yang sama secara berulang. Dalam menyampaikan konsep pendaraban, guru seharusnya menyampaikan konsep yang paling mudah dahulu, iaitu konsep tambah berulang-ulang. Dalam proses pendaraban, pada amnya, ia dapat dibahagikan kepada lima konsep pendaraban. Kesemuanya mempunyai tujuan yang sama iaitu untuk mencari jumlah kesemua objek yang terlibat.

• Tambah Berulang-ulang - Tambah kuantiti yang sama beberapa kali

• Konsep kumpulan sama - Bila kedua-dua nombor dan saiz objek diketahui (tetapi jumlah tidak diketahui)

• Perbandingan / Konsep kali / ganda - Masalah perbandingan dengan struktur pendaraban melibatkan 2 set yang berbeza tetapi hubungan bukan satu kepada satu. Dalam situasi pendaraban, satu set melibatkan gandaan set yang satu lagi.

• Konsep kombinasi - Dua faktor mewakili saiz dua set yang berbeza dan hasil darab menunjukkan berapa banyak pasangan benda boleh dibentuk, dengan satu ahli pasangan diambil dari tiap-tiap dua set.

• Tatasusunan - Luas suatu segiempat tepat boleh dicari dengan mendarabkan lebar dengan panjang segiempat tepat itu. Dalam tatasusunan (susunan objek yang diskrit dan boleh dibilang),  jumlah objek boleh dicari dengan mendarabkan bilangan baris dengan bilangan objek dalam setiap baris.

4.3.1    Konsep Darab
Darab sebagai operasi tambah berulang. Contohnya:  tiga set 2 diertikan sebagai 3 ´ 2  dan lima set 4 diertikan sebagai 5 ´ 4. Darab bermakna “kali atau ganda”. Contoh: 3 ´ 6 = 18 disebut “tiga kali ganda enam menghasilkan lapan belas”. Nombor 3 dan 6 dipanggil faktor darab. Dalam operasi darab ini tanda “´” digunakan dimana ia merujuk kepada operasi ganda. Manakala tanda “=” ini merujuk kepada hasil. Nombor 18 dalam ayat matematik di atas mewakili hasil darab atau nombor terbitan operasi darab. Cara menulis operasi darab adalah dengan cara menegak dan cara mendatar.  Cara menegak dikatakan sebagai bentuk lazim manakala cara mendatar pula dikatakan ayat matematik. Murid-murid dibimbing dulu menggunakan ayat matematik dan diikuti dengan menukar dan menulis ayat matematik kepada bentuk lazim.

4.3.2    Bentuk Operasi Darab

            Ayat matematik : 3 x 6 = 18

            Bentuk lazim :               6

                                            x    3___

                                                 18

4.3.3    Model Operasi Darab

Terdapat beberapa model yang dapat digunakan dalam operasi darab ini. Antara model bagi menjelaskan konsep darab ialah model gandaan set, model turus, model turutan garisan bernombor dan model hasil Cartesian.

Model Gandaan Set

            00     00    00    00  --------------- 0000    0000

             2   +  2  +  2  +  2        = 8

            Empat set 2    ------ satu set 8

            4 x 2 = 8

Model Terus

            0     0     0     0

            0     0     0     0

            0     0     0     0

            3 + 3 +3 + 3 = 12

Empat turus 3  kelompok 12

            4 x 3 = 12

Model Turutan Garisan Bernombor

            0         3         6        9        12        15

            ,_____,_____,_____,_____,_____,___

            Lima turutan 3 ------ hasil

            3 pasangan ----------- 6 objek

            3  x 2  = 6

4.3.4    Fakta Asas Darab
Fakta asas darab ialah fakta yang mempunyai faktor pendarab satu angka atau satu digit, misalnya daripada 0 ´ 0 hingga 9 ´ 9.  Bagi menjamin komputasi efisen (jawapan yang tepat dan menjimatkan masa), murid digalakkan menghafal fakta asas darab.  Ada 100 fakta seperti 0 ´ 0, 1 ´ 1, 2 ´ 2, 3 ´ 3 hingga 9 ´ 9, iaitu pergandaan nombor itu sendiri, dan 45 fakta lain bersimetri (45 + 45). Fakta bersimetri ialah seperti 4 ´ 7 = 7 ´ 4.  Fakta darab perlu dibantu dengan manipulasi objek konkrit, piktorial dan jadual fakta.  Murid digalakkan membuat pertalian antara satu fakta dengan fakta-fakta lain secara abstrak berdasarkan pengalaman konkrit mereka seterusnya memikirkan pertalian antara berbagai-bagai fakta dengan menggunakan hukum operasi darab dan menggunakan algoritma standard.

4.3.5    Strategi-strategi Pemikiran untuk Mempelajari Fakta Asas Pendaraban

• Sifat tukar tertib
•  Membilang secara melangkau
• Tambah Berulang
• Cerakinkan hasil darab kepada bahagian-bahagian yang diketahui
• Mengguna sifar dan satu  
• Mengguna Pola
• Strategi satu set lagi

4.4       Operasi Bahagi
Operasi bahagi ialah operasi matematik yang terakhir dipelajari oleh murid di sekolah rendah. Operasi bahagi dikaitkan dengan operasi darab sebagaimana operasi tolak dikaitkan dengan operasi tambah. Di samping itu, operasi bahagi memerlukan tahap kematangan berfikir yang lebih tinggi untuk memahami konsep dan algoritma bahagi. Untuk pembelajaran yang efektif, murid perlu faham tentang konsep dan sifat milik, atau hukum operasi bahagi di samping penyediaan kaedah dan pedekatan yang terancang oleh guru untuk memudahkan proses memahami operasi ini.

4.4.1    Konsep Bahagi

            Bahagi ialah proses pengumpulan sama banyak atau pengongsian sama rata.

• Pengumpulan atau pembahagian secara ukuran.

Dalam situasi ini, kita tahu berapa objek yang terdapat dalam setiap kumpulan dan mesti menentukan bilangan kumpulan. Dalam proses ini, murid dikehendaki mengukur bilangan subset yang kecil yang sama besar daripada set objek yang asal. Contohnya, guru membahagikan murid-murid dalam suatu kelas kepada beberapa kumpulan.

• Pengongsian / Penyekatan

Dalam situasi ini, satu set objek (jumlah asal) diasingkan kepada beberapa kumpulan (subset) yang ditetapkan dan kita hendak mencari bilangan objek dalam setiap kumpulan (subset). Contohnya, Ibu membahagi makanan kepada anak-anak secara sama rata.

Operasi bahagi mempunyai pertalian menyongsang dengan operasi darab. Misalnya, 5  p = 10, iaitu untuk mendapatkan faktor pendarab p maka 10 mesti dibahagi dengan 5. Operasi bahagi juga mempunyai pertalian dengan penghitungan,iaitu turutan selangan nombor dihitung kebelakang ( reverse) contoh:-

            4 x 2 -----0-2-4-6-8

            8 – 2 -----8-6-4-2-0

    

Operasi bahagi boleh dianologikan sebagai tolak berulang-ulang. Cara menulis ayat matematik bahagi, contohnya;

                                          

  

                     

Nombor 18 dipanggil dividen, nombor 2 dipanggil faktor pembahagi dan nombor 9 ialah hasil bahagi.

4.4.2    Bentuk Operasi Bahagi

            Ayat Matematik : 12 ÷ 4 = 3

            Bentuk lazim : pembahagian pendek dan  pembahagian panjang

4.4.3    Model Operasi Bahagi
Antara model yang digunakan dalam operasi bahagi ini ialah Model Kuotatif (memberi gambaran berapa kumpulan dapat dibuat daripada sesuatu dividen atau sebilangan besar unsur. Model partitif atau sama rata (memberi gambaran berapa banyak unsur dalam satu kumpulan atau kelompok. Kemahiran menghafal dan mengingat kembali fakta-fakta asas darab berkait rapat dengan kebolehan menyelesaikan kira-kira bahagi secara sikap dan ekonomik.  Operasi bahagi mempunyai pertalian songsang dengan operasi darab (sekiranya sesuatu nombor boleh dibahagi dengan nombor lain, tanpa sebarang baki nombor bernilai)

4.4.4    Fakta Asas Bahagi

Fakta asas bahagi mempunyai faktor pembahagi dan hasil bahagi bernombor satu angka.  Bagi setiap fakta darab yang disongsangkan akan menghasilkan satu fakta bahagi.  Contohnya,     14  ÷  2  =  7.  

Aktiviti untuk membantu pembelajaran fakta bahagi ialah:

Ø  Pengelasan objek-objek.

Ø  Penggunaan pengalaman harian,

Ø  manipulasi objek-objek,

Ø  melukis dan menganalisis gambar

Ø  mencari jawapan melalui pertalian.

4.4.5    Strategi-strategi Pemikiran untuk Mempelajari Fakta Asas Pembahagian

• Tolak berulang-ulang
• Membilang secara melangkau
• Membilang balik
• Cerakin hasil darab kepada bahagian-bahagian yang diketahui
• Mengguna satu

4.5       Perkaitan Bahagi dan Darab

Operasi bahagi mempunyai pertalian songsang dengan operasi darab. Misalnya, 5p = 10, iaitu untuk mendapatkan faktor pendarab p maka 10 mesti dibahagi dengan 5. Operasi bahagi juga mempunyai petalian dengan penghitungan, iaitu turutan selangan nombor dihitung ke belakang (reverse) contoh:

—              4  ´  2  à  0, 2, 4, 6, 8

—              8  ÷  2  à  8, 6, 4, 2, 0

Operasi bahagi boleh dianalogi sebagai tolak berulang-ulang

Cth : 8  ÷  2

—  8 – 2 = 6

—  6 – 2 = 4

—  4 – 2 = 2

—  2 – 2 = 0

Kira berapa banyak kali 2 boleh ditolak daripada 8

Didapati bahawa 2 boleh ditolak 4 kali drpd 8

—  8  ÷  2 = 4